哥德尔的本体论证明,以及,没必要那么复杂的超快速证明。罗素、哥德尔以及图灵。

于上马讨论哥德尔的本体论证明,即以三品级模态逻辑(HOML)来验证“类上帝的性能必然有实体”,之前,我们事先来打听一下模态逻辑。

《皇帝新脑》读书笔记

命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑

模态逻辑中,有三个概念是太中心的:

  1. 可能世界
  2. 对象
  3. 命题与性

咱们得组织一个极度深的集纳,称之为Omniverse(随便取的名为……),它是持有或世界的聚合。而所谓的“可能世界”,就是Omniverse中的一个因素,其自己是一个由对象、属性与命题构成的。
恐怕世界被的一个,被称呼真正世界,就是“当前世界”——当然她是呀并无重要,甚至于有没来且非是非常重大。当然,我们不能不使掌握一点,模态逻辑中之社会风气和我们普通概念受到的社会风气与物理学上之社会风气,没有半毛钱关系……虽然前者可齐晚少者,但前者还得是重复多。
具目标、属性/命题的议论,都得指定是当谁可能世界进行的。比如我说“天鹅是伪的”,这句话我没有意思,我得指明一个恐世界,比如说,“在没天鹅的社会风气里天鹅是地下的”,这词话就还不曾意义了。。。但若是自身说“在只有白天鹅的世界里天鹅是不法的”,这词话虽是拂的。
之所以,讨论一个命题之前,必须要指明一个社会风气,世界得以让当是全部命题能为讨论的戏台。
个别独世界中间有一个二元关系,被称呼“可及”。比如世界w和u,二元关系$w
\gtrdot u$的意,就是“从世界w可达世界u”。
到底怎么算是不过达成?这个问题不是不行要紧。。。

可达性可以生一对外加的公理性要求,选择不同(或者不选)的公理可以取不同之模态逻辑(不写世界之限定,默认是当Omniverse中):

里头,欧几里得性相当对称性加上传递性。

世界中之一个太要之合理,就是目标。
本,一个世界面临好有三角,有天鹅,有X战警,有杰出,有幽灵,等等等等。对象足以是现实性的,也可是纸上谈兵的,但目标要在一个社会风气中。
因a来表示对象,那么$a \in w$就说明a在世界W中。
合理可以免是一个实体,而是同样看似实体的抽象,比如“我手上的及时朵苹果”和“苹果”都足以是合理,只不过前者是一个具体的实体,后者是同样接近实体的泛。

对象可以有无数性,或者说得来众多命题来描述一个靶。
咱们将显著指定了所处世界、所描述的课题、并会展开真值判定的句子,称为命题,或者性质。
遵,“所有苹果还是辛亥革命的”,这词话在指定了一个社会风气后,就是同样长达命题,也是一个特性,写出来就是:$w
\vDash \forall apple \in Apple \ (red(apple))$。

脚就是吧一下逻辑。

民俗的命题逻辑,就是命题和对象,命题中时有发生如下二元关系:

  1. 且:$\land$
  2. 或:$\lor$
  3. 蕴含:$\rightarrow$
  4. 真值相等:$=$

为好,可以引入一个二元关系“等价$\leftrightarrow$”,即$p
\leftrightarrow q$就表示$p \rightarrow q \land q \rightarrow
p$。但眼看实际不了就算是千篇一律朵“语法糖”。

还有一个同老大关系:否$\neg$,它意味着的便是命题的否命题。

平阶谓词逻辑引入了个别独名词:$\forall$和$\exists$,分别表示当指定了一个汇聚后,对聚集中有所的元素命题都起,和聚集中在元素而命题成立。
立即片只称呼词是无独立的,因为:

俺们好测算出如下三个结论:

老三修小类似废话。。。

这边可以分说一下哥德尔的不完备性定理。
 
倘若一个逻辑系统强大到与算术公理相容,那么我们得以让每个命题、对象还指定一个哥德尔数(使用一个字符集来表征命题和对象的发表,然后使素数与字符在字符集中之职位对应,字符在命题中的序数作为素数的幂次,从而最终任意一个命题都可以唯一对许交一个自然数,这个数字就是哥德尔数),从而一阶谓词逻辑就可以本着这些数字进行操作,进而构造出类似“这词话是拂的”这样的自矛盾的命题,从而表明了这样一个十足强劲的平等阶谓词系要是全的还是是自恰的不过无能够以满足。这里的中心其实就是是这样的本人矛盾的命题原则达成相应的哥德尔数是无穷大,从而不克全;而一旦要是无是无边大从而完备,则无容许自恰,因为这命题自我否定了。

产生矣命题逻辑和称词逻辑,我们下面就足以来闹来模态逻辑了。

模态逻辑引入了或世界,以及针对性可能世界之有限个算符:必然$\Box$和可能$\diamondsuit$。

于模态逻辑中,对于自由命题,我们还必须指定一个世界w,也便我们只能说:世界w中,命题P为实在。写吗:$w
\vDash P$。
所以,我们便立了一个世界与命题的二元关系$\vDash$,表示命题在世界被吗实在。
设早晚和可能及时半独算符的含义就是(我们用O表示Omniverse):

也就是说,世界w中命题P是毫无疑问的,当且仅当以颇具w可达的社会风气中,P都为实在;而世界w中命题P是唯恐的,当且仅当于拥有w可达的世界中,存在一个世界中P为真。

定和可能吗非是互独立的算符,就同称词逻辑中的“所有”和“存在”一样:

咱俩前面介绍了说不定世界里的二元关系“可达到”,它可以要求五种不同之公理,从而可以抱不同的模态逻辑。

  • 不挑其它一样漫长公理的模态逻辑被称为K模态逻辑系统,简称K。
  • 选择存在性的模态逻辑被称为D。
  • 选取自反性的模态逻辑被称为T。
  • 挑自反性加对称性的模态逻辑被称呼B。
  • 择自反性加传递性的模态逻辑被称之为S4。
  • 分选自反性加上欧几里得性之模态逻辑被喻为S5(从而等价于要求了自反性、对称性和传递性)。

在T以及基于T(比如B、S4、S5)逻辑规则下,我们得以证实:

何以而自反性?因为只要无自反性的讲话,我们无法证明从社会风气w可达世界w自身,从而证实就无法就。

咱吧得以D中验证:

而是有目共睹只有D的语无法证明T中之次漫漫命题。

本来,为了方便,我们得以无写世界w,比如上面的好形容吗$\Box P
\rightarrow \diamondsuit
P$,但我们务必牢记每一样长长的命题都是指定了一个世界的。

方,我们准备干活都搞好了,下面就是开讨论哥德尔的本体论证明。


  • Date: December 29th, 2015
  • Author: milkpku
  • Reference: The Emperor’s New Mind, Roger Penrose

本体论证明

哥德尔的本体路能证实,在S5模态逻辑的根底及,引入了几乎长达新的公理和概念。

概念1:存在关于性之属性P。

P是关于性的性,也即P并无直作用在对象x上,而是图在叙述对象x的属性f上。
举例来说来说,“‘花是热门之’这句话是P的”。这句话就是是关于“香”这个特性之命题,即,P是属性的特性。但我们无能够说“花是P的”,因为P不是对象的性能,是性质之性。

对于P具体是什么,我们无理解,但咱理解有关属性P的几乎独公理:

公理1:

即,属性$\phi$与其否只能有一个凡是当真的。

公理2:

即,如果$\phi$是P的,且对任意x还必(对各一个w可达的世界u)有(u中)$\phi(x)$蕴含$\psi(x)$,那么$\psi$也是P的。

透过就简单单公理,我们好得到同长达定律:

定理1:

就算,对于随意属性$\phi$,如果$\phi$是P的,那么可能(有一个w可达的世界u,u中)存在一个对象x,是的x是$\phi$的。
举例来说来说,就是如“是红色”是P的,那么至少有一个社会风气面临,有一个对象x是辛亥革命的。
以此证方可这么来拘禁:

从而,只要我们肯定公理1和公理2,那么P的性能就得会以至少一个社会风气被存在一个对象使得该属性也确实。

此地,公理1相应是尚未问题之,它实质上就是是排中律运用到了P上,而二值逻辑中着力未见面有人怀疑其正确。
公理2虽说认为,一个P的习性所定蕴含的习性也是P的。这上头实际有接触讨巧,因为咱们根本都不知情P到底是啊,我们可以给P任何一样栽名称,不管是“伟光正”还是“矮矬穷”都可以,所以P的名是无意义之。我们本可以当公理2勿起,一个P的属性所定蕴含的性能可以无是P的,我看无来有啊说辞认为公理2必须建立——当然,公理的图仍就是强行让起推理的本,其对并无能够由推理给有,只要保证该公理系统是自恰的尽管行了。
公理的不易或者说可靠性很怪程度达到是一个笃信问题。

故此,我们地方通过简单漫漫定律,得到的一个定论就是是,假定有一个性质是P的,那么即便能于一个世界面临找到一个靶是装有该属性之。

有关性的属于性P,还有第三长条公理:

公理3:如果一个特性是P的,那么它们必将是P的。

重复具体地说,就是要当某某世界w中一个特性是P的,那么以具有w可达的世界被该属性都是P的。
本条要求其实并未啥道理,反正就是这般被得为公理了……
并且,结合公理1,我们可以发现,现在一个特性要么得是P的,要么得不是P的(因为只要属性不是P的,那么根据公理1夫为就是P的,那么根据公理3那个也就是必然P的,所以其便是早晚不是P的),这样就简单条公理事实上就是要求了颇具的性在每个世界还有着相同的P或者非P的取值。
这早已十分过分了,因为起是否是P的即点来拘禁,所有宇宙已经联合成了一个宇宙(这就有点模态坍缩的意了)。
倘若它们最过分之触发,在于它实质上表达了这样一桩事:

眼看是怎吗?因为若有属性是唯恐为P的,就象征在w可达的某部世界中该属性的确是P的,那么下公理3(以及模态逻辑S5),就表示该属性必然是P的,即该属性在装有w可达的世界面临还是P的……
从而,对于P的性,如果她恐怕是确实,那么其就是自然是的确——是无是吃人想到了墨菲定理?

整合定理2,我们好见见,虽然咱尚是免了解属性的性质P到底是什么,但是咱曾经让了她两独十分牛逼的特性,就是传递性(公理2)和必然性(公理3)。

下面,我们在来一个初的概念:

概念2:存在属性Q,它要求拥有拥有属性Q的靶子,拥有所有P的特性,即:

这定义就是,如果一个靶是Q的,那么这个目标就是具有所以P的性质;而设一个目标拥有所有P的特性,那么是目标是Q的。

事实上,由此我们得以获得相同长长的定律:

定理2:如果x是Q的,那么x必然拥有所有P的习性,且未克有所别样非P的特性。

证明实际挺易:

即如果x是Q的还发生一个非P的属于性t,那么否t就是P的,那么根据Q的定义x就不能不是否t的,而x又是t的,于是矛盾,所以x不克生出非P的性能,只能有P的性,且要有所有P的性。
故而,x是Q的是一个挺强劲的求跟性。

一个老自然之题目,就是如此的靶子到底是否存在吗?
于是哥德尔因公理的花样对斯题目为来了回应:

公理4:Q是P的,$P(Q)$。

动公理4暨定理1,我们立刻就可以拿走同久定律:

定理3:

用人话来说就是:至少发生一个世界存在一个靶是Q的。

用,公理4对等价于直接求了,至少有一个世界存在一个对象是Q的。
然这要求是否合理?我们不亮。我们领略之只是,假定我们引入了当下漫漫公理,那么就算必在一个社会风气产生一个对象是Q的。作为公理,我们不克质问其的客体,我们不得不用它,但当时吗就是,我们全然好错过丢这漫漫公理,一如我们当几乎哪里理论遭遇错过丢著名的“第五法则(平行公理)”,从而取得了欧几里得几哪里之外的重新宽广的李曼几哪。

重新来,我们定义一个性与对象的二元关系E:

定义3:

用人话来说,就是只要以有世界w中属性$\phi$和目标x满足二元关系E,那么一旦x具有属性$\psi$,则以具备w可达的社会风气被使一个目标拥有属性$\phi$则它必将也拥有属性$\psi$。
说人口说话虽是:如果一个特性与一个目标是满足关系E的,那么这目标的兼具属性都得给欠属性蕴含,且这种含不依赖让该目标(即属性蕴含属性,而非是目标的特性蕴含对象的属性,所以来一个誉为词$\forall
y$)。

概念了之二元关系E有啊用吗?让我们来拘禁一下定律2:

若一个对象x是Q的,那么x必须持有所有P的属性,且无克享有别样非P的性能。

换言之,如果x是Q的,那么x的兼具属性都是P的,且所有P的属性都是x的,这便符合E的定义:x的保有属性只能是P的,所以可以由Q蕴含。
同时由于我们曾以公理4证明了定理3:一定当某某世界发出一个目标是Q的,所以我们将以此目标记为q,q必然存在被某个世界(甚至是差不多只世界)。
下一场,公理3还要说了,既然Q是P的,那么Q就得是P的,从而补及了定义3丁要求的必然性。
所以,定义二元关系E,别的不说,它首先就是叫来了一个好直白的下结论:属性Q和有属性Q的对象q,必然满足二元关系E:$E(Q,q)$,即:。

定理4:

暨此处,我们由此公理2、公理3、公理4、定义2、定义3曾经组织除了这么一个层面:
毫无疑问有一个世界里发生一个靶是具有属性Q的,从而它富有所有P的性能而不有所别样非P的性,以及这目标同总体性Q满足二元关系E。

通下,我们再度下一个概念:

概念4:如果在有世界中x是N的,那么有满足$E(\phi,x)$的属性$\phi$都定以每个世界被还存在对象y满足该属性。

来看这里,我们既想到了,如果地方说Q在有世界之所有Q属性的对象q是N的,我们还要就证实了Q和q是满足二元关系E的,那么就算必然在每个世界都是一个对象是Q的。

啊,于是下哥德尔即引入了最终一长达公理:

公理5:N是P的,$P(N)$。

相这漫漫公理,也没有啥好说的了…………
坐N是P的,于是使一个靶是Q的,那么它就是得吗是N的,从而就必然以每个世界还有至少一个靶q是Q的。

定理5:

举凡免是认为上面的过程很耍流氓?

被我们简要地整理一下:

  1. 概念了一个勿知晓凡是呀的特性的属性P;
  2. 务求还是一个特性是P的,或者它们的否定是P的;
  3. 比方一个性是P的,那么她一定包含的特性为是P的;
  4. 冲上面两点证明了使一个性能是P的,那么早晚在至少一个社会风气中最少有一个目标是满足是特性的;
  5. 渴求要一个性能是P的,那么以有世界里者特性都是P的;
  6. 概念一个属于性Q,如果一个对象x是Q的,那么所有P的性能都是x的性能,x的所有属性都是P的,所有非P的属性x都尚未;
  7. 俺们要求Q是P的,所以至少有一个社会风气里出最少一个目标是Q的;
  8. 概念属性和目标的二元关系E,如果一个对象x与属于性p满足E,那么x所有的装有属性都得给p蕴含;
  9. 使用4、5、6可证明Q和4惨遭求的对象q是满足E的;
  10. 概念属性N,如果一个对象是N的,那么其的富有满足二元关系E的性,都必然以具有世界还存在对象是满足其的;
  11. 求N是P的,所以满足Q的对象自然是N的,而它和Q是满足E的,所以根据N,在每个世界还存在对象是Q的。

莫知道大家来没有来当,这里定义3暨定义4及公理3、4、5,都是以取得最终必将存在对象是Q的做铺垫,单独看其每一样漫漫,都觉得甚没理……
尤为定义3暨定义4及公理3及公理5,感觉就没好意思说一定产生对象是Q的,所以拆分成了一定量只概念和区区独公理来“论证”必然产生目标是Q的……

最关键之是,我们至今无知道P、Q、E和N到底是呀。

下,就是哥德尔于引入五长条公理与四长条定义之外,所引入的语义解释——

性之属于性P,被名“善的”、“好之”、“正面的”;
属性Q,被称为“类上帝”的;
二元关系E,被称作“对象的本质属性”;
属于性N,被号称“必然在”的。

遂,上面的认证逻辑就是好语义化地叙述为:

  1. 一个性不是容易之饶是嫌之;
  2. 容易的性质必然蕴含的习性必然也是好的;
  3. 每一个爱之属性都见面当至少一个世界有起码一个实例;
  4. 容易的性质必然是容易之;
  5. 仿佛上帝的靶子有还只有有所有善的属性;
  6. 恍如上帝是一个轻之性,所以至少发生一个世界里最少有一个目标是近似上帝的,被称为上帝(证明了上帝之存在性);
  7. 一个靶的本质属性意味着,在各级一个世界,这个特性都可以分包该目标的兼具属性;
  8. 经上面我们解,类上帝是上帝的本质属性;
  9. 要是一个靶是肯定有的,那么它们的享有本质属性都必有实例;
  10. 自然在是一个容易之性能;
  11. 因此类似上帝的对象是毫无疑问在的,所以类似上帝必然有实例,所以一定有上帝(证明了上帝之必然性)。

马上就算是哥德尔的本体论证明,及于他的此基于S5模态逻辑的系中增长五长长的公理与四个概念,就得发生上帝。

呃…………


前言

Roger Penrose
在《皇帝新脑》中拟回击强AI观点,即人之思维过程等价于同学及其复杂的算法。他经过多门路进行辩解,包括证明人脑活动的架空模型高于算法、人脑活动之大体过程无法测算等等。在算法和脑子关系这有些,penrose主要重于阐述算法不可知超过人脑。我将该独抽离出来,作为一个一样窥元数学深奥世界之小品文。罗素悖论,哥德尔不完备定理,图灵停机问题,看上去还隔很远,但它们都凭借于了逻辑系统中一个一般的孤苦。

诚是这么也?

世家没发现点的之“证明”存在什么问题么?

率先,在引入所有符号的语义之前,这些标记可以是任意东西。
倘若,给标记赋予语义,真的是无歧义的么?
俺们好这样来定义那些符号:

性之属性P被誉为“邪恶的”;
属性Q被喻为“类撒旦的”;
二元关系E被叫作“对象的本质属性”;
属于性N被名“必然存在”。

所以,通过了一样的模态逻辑,我们作证了一定是撒旦…………

咱俩尚可称属性的属于性P为“无意义的”,而属于性Q为“类克苏鲁的”,于是我们啊不怕印证了肯定在克苏鲁………………
性能的属性P为“有超能力”,属性Q为“类正义联盟的”,于是我们作证了自然产生公平联盟………………

如此这般的求证,其实没有任何意义,引入了上述公理与定义的S5可以印证外语义中所申明的目标,因为语义的给予并从未其余合理性和可靠性,完全就是随便给的。

归根结底,对于什么是P,我们连没一个鲜明的概念,我们只是用三漫长公理给来了关于P的组成部分讲述,但对此什么可是P的,什么不是P的,我们并不知道,这就招致了为P的语义赋值变得稀随便和廉价。

若果,虽然接近及帝属性的定义看似没什么问题,但本质属性与一定存在的定义则显得相当可疑,有一样栽为证明上帝有如人工要求了自然是即同样属性,而又为不直接写上帝必然在而抓来了一个阳也接近及帝属性量身定做的本质属性的概念。
用定义和公理来“要求”上帝必然在的所谓“证明”,这大概可以当是哥德尔本体论证明的面目。
若,这里定义和公理的可靠性与客观,除了来自信仰之模型中给予的语义,我们并无法见到其他别的依据。

那,上述公理本身便真没问题么?
也未必。

例如,公理2渴求要一个性质是P的,那么其自然包含的属性也是P的。
只是咱且知晓出一个死广泛的气象,叫做“善花结恶果”,所以您说这条公理真的没啥问题么?

倘若地方还才是歪曲的缺憾的话,那么公理3即使再过分了。

公理3求,如果以一个世界w中属性p是P的,那么在有w可达的备世界中属性p都是P的。
然可以动用逆否命题得到部分那个风趣之定论(基于模态逻辑S5):

也就是说,如果一个特性可能是P的,那么其必将是P的;如果一个属性可能不是P的,那么她一定不是P的。
使我辈面前已经说了,结合公理1,所有的性要么是P的抑不是P的,黑白二分开。

继之,我们组织这么一个命题:$\psi(x) = (x = q) \land
\phi$,其中q是享有属性Q的目标,从而这个命题的意乃是,如果x是q,且命题$\phi$为实在,那么该命题为确实。
阳,如果有世界中命题$\phi$为确实,那么上述命题就是代表它是q的性质,因为q在具备世界是。而我们以知,所有q的特性必然是P的,于是根据地方的定论,这便代表,该命题在颇具世界也真:$\Box
\psi(q)$。
要,这个命题$\psi$作用在每个世界的q上必然也真,所以根据命题逻辑的分开规则,这便表示于每个世界命题$\phi$都为真。

于是乎,总结下就是是:

定理6:

以S5中实际这就是意味着:

定理6’:

这就是“模态坍缩”,它象征不管一于某世界或啊真正命题都必将以有世界都也实在。
于是乎模态逻辑中之或然与必然就片独模态算符就从未有过了留存的不可或缺。
岂但如此,所有的可能性还深受删去去,只留下了必然性。

还要,模态逻辑的一律种植表述是“时态逻辑”,它用“世界”定义也世界在不同时间达到的“切片”,于是“必然”是“每时每刻”,而“可能”是“有时”,这么一来模态坍缩就改成了:如果某个时刻一个性为实在要为假,那么是特性就于备时空范围不见面转移。
只是就分明是漏洞百出的,比如“这朵花是辛亥革命的”这句话在时态逻辑中显是“有时”成立而不“始终”成立,因为花会枯萎,枯萎以后就不是红的了,所以只要模态坍缩发生,那么就是如果你现在收看这朵花是革命的,那么以过去与前途底任何时刻这朵花还是红的,这肯定不得法。
一发,既然“可能吧确实”的“必然为真正”,那么就是意味着一切随机性就都毁灭了,人呢无“自由意志”,因为一切都是必然之,那自由意志就从未有过在的必要了。

而且,更有趣之是,这尚表示要上帝有,那么量子力学就无克运用多宇宙诠释。
因差不多宇宙诠释着,每次量子坍缩的时光宇宙都分裂为多单,这基本上单宇宙间自然是互相可直达之。而既然或然的便是必然的,那就是说每个宇宙中之同一个量子过程得得到相同的结果,但这样的话就与大多宇宙的本质矛盾:多宇宙中一个量子过程的大多单不同的以征态对应了针对性只例外的量子坍缩结果,从而分裂出的每个宇宙都至少在一个量子过程遭到是不同的。
故而,如果量子力学是大抵宇宙诠释的,那么上帝必然在就是是蹭的(从而S5或者哥德尔的公理与定义系统是拂的);而如上帝是迟早存在的,那么量子力学就非是大抵宇宙诠释的。

还进一步来说,我们得以窥见不仅多宇宙诠释和上帝必然有无相容,整个量子系统还和上帝必然在不相容——同一个量子过程的结果该是迟早相同的才对(模态逻辑的时态表述下),但这肯定不称物理事实。
乃使上帝存在,世界就是不是量子的;如果世界是量子的,那么上帝就无应该存在。

此地插一句子。为什么这边直说上帝在和量子过程不相容,而休说及藏物理中之妄动过程不相容?
为理论及的话,量子过程是真随机,而经物理过程,可以给强词夺理地认为未是实在随机,只是我们不可能知道各个一个粒子的保有状态的诸一个细节,所以把自然当做了自由。
啊便,经典世界我们得认为是莱布尼茨及拉普拉斯所要求的机械世界,只不过因为细节的不行全知而更换得无确定,但真相上或者确定的。
可对此量子世界,其庐山真面目就是不确定,无论如何都非可能让用规定以改写——当然,你得查找保留决定论的非定域隐变量理论,那也许上帝和量子是可以存活之。

这么一来,一个纯的形而上的神学问题(从有关逻辑和语义的无涉那段可以视,这精神上且不是一个逻辑问题,而是一个对准命题与公理赋予语义的模型论及其以上的神学问题)就跟足论证的情理问题联系在了共同,而且,被证实神学与物理学不配合…………

哼吧,就算我们放过所有的公理,那哥德尔的那几只概念,就从未有过问题了么?

哥德尔个公理-定义系统发出五长条公理与四长条定义(或者说是三长定义加上同样漫长不定义……)。
季条定义着,对于到底什么是性质的属于性P,其实是没有概念,但我们而用P就还是如发定义,所以对P的概念就是是:要发生P。(神说,要发生仅。)
仲漫漫定义是有关属性Q的:拥有一切P的性能的目标,被叫作是Q的。
老三长达定义是关于本质属性的:对象的本质属性蕴含对象的有属性。
季长定义是有关自然是的:本质属性必然存在。

下一场同条公理加定义说Q是本质属性,一久公理则说得存在是P的故所有Q的q都必然在,这便是哥德尔耍赖的地方,让丁想到了老牌的“定义自己在圈外”笑话[\[1\]](https://www.jianshu.com/p/a7db4a81108f#fn1)

里头,第三漫长定义是值得商榷的。
坐,假定我们组织一久我矛盾的命题,那么根据命题逻辑,我们掌握,这样的命题可以作证所有命题(不自恰逻辑系统的风味)。
一经,根据定义3,我们居然可以说,这标志我矛盾是任何一个靶的本质属性
接下来,根据定义4,既然我矛盾是本质属性,那么自己矛盾就是是早晚是的——旁一个世界还留存至少一个靶是自矛盾的
假使既然必然存在至少一个靶是自身矛盾的,于是必然每个世界的每个命题和其否都可于认证(自我矛盾的命题可以证实一切命题,不自恰逻辑系统的特征),于是必然每个世界还是逻辑不自恰的…………

马上就是哥德尔公理-定义系统的无自恰性。

较哥德尔的必定是上帝更简单,我们只是所以半久定义就是证明了一定在自己矛盾,而且这种证明还非欲操心语义赋予的随意性与不合理性,因为它完全从逻辑本身生成。
所以,世界上发出头痛魔的本金远较出上帝的基金没有啊…………

从而,如果说哥德尔的公理-定义系统所导出的结论“必然在上帝”告诉我们他的神学世界以及真物理世界不相容,那么这套公理-定义系统自的定义则告知他的逻辑世界与逻辑本身不相容…………

自然,有哲学家和逻辑学家后来提出了针对性必然在的概念之修改:

定义3’:

大多了扳平久对象x必须有所属性$\phi$,即是特性必须事先使发生实例,才发生或讨论是勿是本质属性。这么一来,自相抵触的命题为受大面积相信是从来不实例的,于是她就未可能让肯定为本质属性。

那么,我们当经过定义的方“证明”了上帝存在后,又通过改动定义之计“证明”了烦魔不在…………

就此,没事不要和逻辑学家(以及数学家)讨论问题,他们之高招就是用定义来化解问题……………………

这就是说,怎么才能够重复好地“证明”上帝在也?


罗素悖论

一个凑是否能包含我?这是集合论风行数学界若年后罗素提出的无比有挑战的题材。罗素悖论点出了廉洁勤政集合论中留存的问题,即我们于因为集合论为根本试图构建严密完整的数学大厦时,对水源本身的认识就是是含糊不清的。

设R={所有未带有自己的集结},问R是否包含我?如果R不分包我,那么她便是一个免包含我之联谊,则冲定义R应该包含我;如果R包含我,那么根据定义,R不在集合R中。

罗素以了一个懵的措施来避免罗素悖论,即针对各一个会师标定层级,每个集合只能分包层级低于自己的集聚或因素。

虽然罗素悖论和事后如果讨论的主题略发差别,但相信了解了停机问题匪完备性定理后,我们见面好奇地发现,它们之间似乎有某种共通的事物,即数学对象在对自己时会见碰到的窘况。

证上帝在

哥德尔的本体论“证明”可以解释为简单有。

眼前的局部,利用关于P的有数久公理(公理3每当此间用不至)与Q的同等长长的定义跟千篇一律长长的公理,证明了Q实例的存在性。
丁讲话就是:我们为此半漫漫关于什么是便于之公理,以及关于类上帝的定义跟同等久有关类上帝之公理,证明了上帝的存在性。

此的一个题材,就是我们实际从头到尾不理解啊是好——而当时点还被神学家、哲学家、逻辑学家和数学家都默认可行了——当然,数学家和逻辑学家默认可行是从未问题之,因为逻辑规则和公理系统是独立于模型有的;神学家当然为自觉如此,因为语义的施鲜明对神学家有利;哲学家在当时从达是争吵得最好凶的(纠结于到底什么是便于……),因为,他们若没别的事好提到(伦理学范畴的问题吧是哲学的平等片嘛)。。。

因此,如果您善于发现的话,其实一定是想到了:既然可以采用三长长的公理和千篇一律长长的定义来证实上帝之存在性,那么涉及嘛这么麻烦地运模态逻辑并应用还多之概念跟公理来证明上帝的必然性呢?使用谓词逻辑的言语这里就是径直“证明”了上帝有了呗,如下所示:

此地,公理1、3及定义1还未换(而且事实上Q的定义其实根本用无交,和P一样说一样词是Q就足以了),就是拿公理2的模态算符都失去丢,从而整个逻辑从模态逻辑S5降格为普通的名为词逻辑。
比方继,和原来的哥德尔本体论证明一样,使用公理1跟公理2,我们可证明P的属性必然是实例,然后运公理3及定义1,我们不怕证实了属性Q必然在实例。
接下来要和哥德尔一样,我们与属性之属性P语义为“善之”,赋予属性Q语义为“类上帝之”,于是我们尽管采取谓词逻辑和上述简化的公理系统验证了存在上帝。
凡匪是看上去更简单明了?

故而,如果仅仅是以用逻辑学这同样雄的工具,加上同样组“精心布局”的定义组与公理系统,来“证明”上帝的存的话,压根不用如此辛苦,还以模态逻辑S5和本质属性与自然在即有限只概念,直接三长条公理一长条定义就是缓解战斗了。

要从此的继半片段,那无异积聚定义跟公理的要害目的,其实就是为在模态逻辑下叫整证明能够跑通,同时,也为了以语义上授予整个证明过程有更为
make sense 的物。

哥德尔本人为什么以模态逻辑我不得而知,但猜测一下以来,大概再着重的凡根其自的教诉求吧。

深受咱们还为具备符号赋予哥德尔所于的语义后,我们发现哥德尔所开的莫过于是将一些客所追求的神学概念被了一个形式化的逻辑表述,然后论证了当当下组逻辑表述下,必然是上帝。

就此,哥德尔本体论证明的原形,不是逻辑上证实了上帝有,而是叫神学诉求一组形式化表达,并说明神学诉求下在上帝是自恰的
普过程实际上与逻辑一点干远非……

若非由于神学诉求,那使“证明”上帝有实际深爱:

缓解战斗[\[2\]](https://www.jianshu.com/p/a7db4a81108f#fn2)


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  1. 见笑是这样的:工程师、物理学家和数学家比赛谁用平等干净一米长之缆索缠绕出底地尽充分。工程师圈了单刚方形,因为极度坚固;物理学家圈了个正圆,因为面积不过老;数学家随便圈了生,站进入,然后说:定义自己于圈外。

  2. 周密的读者必定发现了,这个超快速解决战斗的法子,其实逻辑上就是端很使谓词逻辑来解决战斗的点子………………只不过更加简明粗暴………………用定义直接替代了公理1、2与定理1……………………

图灵停机问题

实质上,图灵停机问题是晚于哥德尔不完备性定理出现的,图灵本人也承认自己受哥德尔证明的启发,写下了停机问题。

算法和图灵机

希尔伯特提出过那个名的希尔伯特规划,即给得足够的公理,运用机械推导,能否对具备合法表达的表达式提供正误判断。这为是前面一样篇稿子中形式主义者所抱的想,但新兴给哥德尔无情地击碎了。

尽管梦不再了,但来新的问题应运而生。即是否有能在标准达成一个过渡一个化解所有数学问题的某种一般机械步骤?问题之关键在于什么是“机械推导”,图灵给闹了他的定义,并从此打开了初世界的大门。

图灵是这样定义的:想象一宝于最好加上磁带上之机械,其左侧有极致加上之磁带,其右为发生最加上的磁带。磁带由得以形容副数字之格子连接要成,可以为此磁头进行读写。机器里还有一个笔录内态的记录仪器,以及同摆表,用于查询。现在咱们于图灵机的右侧磁带上勾画副数据(比如打孔),然后打开开关,于是它开始工作了:每一样合,它读来磁头所倚的格子外之屡屡,m,并且亮好的内态n,那么通过寻找表格,得到$(n,m)
\to (n’,m’,d)$,即将内态改吗n’,格子外之勤改呢m’,并推行活动指令d(left,
right or stay)。在机最终平息下来后,机器左侧就是出口的数额。

采取图灵机即便是兑现充分简便的运算都是深劳动的,但起码它让出了所谓“算法”的一个严厉的概念,即能由图灵机实现的操作。而且,我们得用她的那么张周转表${(n,m)
\to (n’,m’,d)| n \in all-status, m \in
all-value}$通过一样效仿编码规则一一映射到自然数集合上,也一律可以透过将自然数解码来组织图灵机,因此图灵机的总额与自然数的总和是相同的!即所谓的连年统$\xi_0$。

通用图灵机(Universal Turning Machine)

俺们以编码为n的图灵机称为$T_n$

留存一个算法,能够模拟任何其他的图灵机,称为通用图灵机,用U表示。其运作性质为,输入数据分点儿个组成部分,n,k,$U(n,k)
= T_n(k)$。事实上,所有现代底微机都是通用图灵机。

图灵停机问题

是否在一个算法,能够当个别时间外判定一对(算法,输入)的结合是否停机,我们叫图灵停机问题。之所以是题目根本,是因最后我们拿证明不在这么一个算法,而脑子又能够通过当系以外的体察判定这无异于对准(算法,输入)的结是否停机。

设若有这样一个算法H,能够以简单时间外判定一对(算法,输入)的重组是否停机,并且输出0或1
$ H(n,k) = {0, T_n(k)不停机 \ 1, T_n(k)停机$

对接下去我们通过以少单算法结合起来别一个初的底算法:

  • 先期通过H(n,k)判定是否停机
  • 比方停机,则输出 T_n(k)
  • 万一非停机,则输出 0

好表达也 $Q(n,k) = T_n(k) \times H(n, k) = U(n, k) \times H(n, k)$

接下来,定义$T_w(k) = 1 + Q(k,k) = 1 + T_k(k) \times H(k, k)$,
则当计算
$T_w(w)$时,会面临上一个不行调和的龃龉:
$T_w(w) = 1 + T_w(w) \times H(w, w)$

  • 如果$T_w(w)$会停机,那么最终取得的结果吗$T_w(w) = 1 + T_w(w)$
  • 如果$T_w(w)$不见面停机,那么会暨那定义冲突,因为等式右边的表达式总能够在有限时间外停机。

所以无存在算法H,能够当少时间内判定一对(算法,输入)的整合是否停机。

哥德尔不完备性

哥德尔的印证思路特别简约,其要工作量在于将形式系统中的语言顺利地编码,Penrose略过了即无异部分,我本来也不曾力量去仔细说,让咱尚是将精力集中在哥德尔想最闪光的那一点直达。

第一,令下为w的第n个命题函数为$P_n(w)$。哥德尔的认证着要的办事就是是验证对同样学特定的标志系统,如何用那编号,在斯我们直接接受其论断,即这样一个命题函数和变量w能够表示其余在当时等同效仿符号系统下之命题。

随之,构成这无异于网受到某个同定律证明的同等失误命题必威体育手机客户端为得以开展编号,令$[\Pi]_n$表示第n个证明。

设想如下的倚重让w的命题函数:$~\exist[\Pi_x 证明
P_w(w)]$,该命题论断不设有$P_w(w)$的辨证。哥德尔通过外卓越之技能证明了这同一命题函数同样可编码进前述的系,我们聊将其记否$P_k(w)$。

当今咱们来考察一个死诡异的命题$P_k(k)$。将那进展可以得 $ ~\exist
x[\Pi_x proof P_k(k)] =
P_k(k)$。这个命题意味着:如果它吗实在,则非在它的证明;如果其吧假,则是说明其也真印证。即要不齐全,要么不雷同。

哥德尔定理对于形式系统而言,是一个驱之不散的亡灵。假如我们将透过外部洞察得到的$P_k(k)$作为新的增大公理加入符号系统,记否$G_0$,则会出现新的非相同,我们记否$G_1$。如果就加下去,我们赢得${
G_0, G_1, G_2 …}$
这样一个最为的公理系统,将该视作附加公理,结果什么?由于这个不断增大的进程是只精光系统化的方案,可以拿其看成日常的公理和步骤法则的片逻辑系统来重述,所以这体系啊起她自己之哥德尔命题,如$G_w$,那么接下就有$G_{w+1}
…$,我们返回了起点。

个体对于penrose论证的一些理念

(未结待补)

Stanford Encyclopedia of
Philosophy

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